Aires de certains polygones réguliers

Propriété

L'aire d'un triangle équilatéral de côté de mesure \(l\) est donnée par : \(\boxed{\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}l^2}\).
Démonstration

Il suffit de remplacer l'expression trouvée pour la mesure de la hauteur du triangle équilatéral dans la formule de l'aire d'un triangle quelconque.

Propriété

L'aire d'un carré de côté de mesure \(l\) est donnée par : \(\boxed{\mathcal{A}=l^2}\).

Propriété
L'aire d'un hexagone régulier de côté de mesure \(l\) est donnée par : \(\boxed{\mathcal{A}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}l^2}\).

Démonstration​​​​​​​​​​​​Soit \(\text{ABCDEF}\) un hexagone régulier de côté de mesure \(l\). Soit \(\text{O}\) son centre.
Les \(6\) triangles \(\text{AOB}\), \(\text{BOC}\), \(\text{COD}\), \(\text{DOE}\), \(\text{EOF}\) et \(\text{FOA}\) sont équilatéraux, car isocèles avec un angle de \(60°\), et égaux, car ils ont tous trois des côtés de longueur \(l\).
Cela permet d'exprimer l'aire de l'hexagone en fonction de l'aire de l'un de ces triangles : 
\(\mathcal{A}(\text{ABCDEF})=6\times \mathcal{A}({\text{AOB}})\).
Or \(\text{AOB}\) est un triangle équilatéral de côté de mesure \(l\). Son aire est donc \(\mathcal{A}({\text{AOB}})=\dfrac{\sqrt{3}}{4}l^2\).
En remplaçant, on obtient \(\mathcal{A}(\text{ABCDEF})=6\times \mathcal{A}({\text{AOB}})=6\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}l^2=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}l^2\).